Задача № 1

Решить следующую систему линейных уравнений в матричной форме.

{ 3 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 1 x 1 + x 2 + 2 x 3 = 2 2 x 1 + 2 x 2 + 5 x 3 = 3

Решение

Решим эту систему с помощью обратной матрицы, записав ее предварительно в матричной форме

AX = B

где A - матрица коэффициентов при переменных, а X и B - матрицы-столбцы переменных и свободных членов.

В нашем случае:

A = ( 3 2 - 1 1 1 2 2 2 5 ) ; B = ( 1 2 3 ) ; X = ( x 1 x 2 x 3 ) ,

таким образом, в матричной форме система имеет следующий вид:

( 3 2 - 1 1 1 2 2 2 5 ) · ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 1 2 3 )

Уравнение можно решить, если матрица A - неособенная, так как в этом случае существует обратная матрица A-1 и X = A-1B.

Для нахождения матрицы A-1 необходимо, прежде всего, вычислить определитель матрицы A и убедиться в том, что она - неособенная. Для этого воспользуемся теоремой Лапласа

|A| = a11A11 + a21A21 + a31A31,

где Aij - алгебраические дополнения элементов aij матрицы A.

Используя определение, получим

A 11 = ( - 1 ) 1 + 1 · | 1 2 2 5 | = 1 · 5 - 2 · 2 = 1 ;

A 21 = ( - 1 ) 2 + 1 · | 2 - 1 2 5 | = - ( 2 · 5 - 2 · ( - 1 ) ) = - 12 ;

A 31 = ( - 1 ) 3 + 1 · | 2 - 1 1 2 | = 2 · 2 - 1 · ( - 1 ) = 5 .

Следовательно,

|A| = 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ (-12) + 2 ⋅ 5 = 1 ≠ 0.

Итак, |A| = 1 ≠ 0. Следовательно, матрица A неособенная, и для нее существует обратная матрица

A 1 = 1 A · A ¯ ,

где A ¯ - матрица, присоединенная к матрице A.

В нашем случае:

A ¯ = ( A 11 A 21 A 31 A 12 A 22 A 23 A 13 A 23 A 33 ) .

Элементы первой строки матрицы A ¯ уже найдены. Находим остальные элементы:

A 12 = ( 1 ) 1 + 2 · 1 2 2 5 = 1 ; A 22 = ( 1 ) 2 + 2 · 3 1 2 5 = 17 ; A 32 = ( 1 ) 3 + 2 · | 3 1 1 2 | = 7 ;

A 13 = ( 1 ) 1 + 3 · 1 1 2 2 = 0 ; A 23 = ( 1 ) 2 + 3 · 3 2 2 2 = - 2 ; A 33 = ( 1 ) 3 + 3 · | 3 2 1 1 | = 1 .

Таким образом, присоединенная матрица:

A ¯ = ( 1 12 5 1 17 7 0 2 1 ) .

Зная A ¯ и |A|, находим обратную матрицу A-1:

A 1 = 1 | A | · A ¯ = 1 1 · ( 1 12 5 1 17 7 2 2 1 ) = ( 1 12 5 1 17 7 2 2 1 ) .

Мы воспользовались определением произведения матрицы на число, в нашем случае равное 1.

Проверим правильность вычислений, т.е. что AA-1 = E, где E - единичная матрица 3-го порядка. По определению произведения матриц получим:

A · A 1 = ( 3 2 1 1 1 2 2 2 5 ) · ( 1 12 5 1 17 7 0 2 1 ) =

= ( 3 · 1 + 2 · ( 1 ) + ( 1 ) · 0 3 · ( 12 ) + 2 · 17 + ( 1 ) · ( 2 ) 3 · 5 + 2 · ( 7 ) + ( 1 ) · 1 1 · 1 + 1 · ( 1 ) + 2 · 0 1 · ( 12 ) + 1 · 17 + 2 · ( 2 ) 1 · 5 + 1 · ( 7 ) + 2 · 1 2 · 1 + 2 · ( 1 ) + 5 · 0 2 · ( 12 ) + 2 · 17 + 5 · ( 2 ) 2 · 5 + 2 · ( 7 ) + 5 · 1 ) =

= ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) = E .

Проверка подтвердила правильность найденной нами матрицы.

И, наконец, находим матрицу-столбец неизвестных:

X = A 1 · B = ( 1 12 5 1 17 7 0 2 1 ) · ( 1 2 3 ) = ( 1 · 1 + ( 12 ) · 2 + 5 · 3 1 · 1 + 17 · 2 + ( 7 ) · 3 0 · 1 + ( 2 ) · 2 + 1 · 3 ) = ( 8 12 1 ) .

Итак, x1 = -8; x2 = 12; x3 = -1. Сделаем проверку, подставив найденное решение в каждое уравнение системы.

Проверка:

3 ⋅ (-8) + 2 ⋅ 12 + (-1) ⋅ (-1) = 1; 1 = 1;

1 ⋅ (-8) + 1 ⋅ 12 + 2 ⋅ (-1) = 2; 2 = 2;

2 ⋅ (-8) + 2 ⋅ 12 + 5 ⋅ (-1) = 3; 3 = 3.

Итак, мы видим, что после подстановки в систему каждое уравнение обратилось в числовое тождество.

Ответ. x1 = -8; x2 = 12; x3 = -1.

НАВЕРХ

Задача № 2

Найти пределы:

а) lim x 1 6 x 2 + 13 x + 7 x + 5 3 x в) lim x 0 ( 1 2 x ) 1 5 x
б) lim x 0 sin 2 x 1 cos x г) lim x 0 sin 4 x 3 x 1

Решение

а) Функция, предел которой при x → -1 требуется найти, представляет собой частное двух функций. Однако применять теорему о пределе частного в данном случае нельзя, так как предел функции, стоящей в знаменателе, при x → -1 равен нулю.

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, на выражение x + 5 3 x , сопряженное знаменателю. Параллельно разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители:

6 x 2 + 13 x + 7 x + 5 3 x = ( 6 x + 7 ) ( x + 1 ) ( x + 5 + 3 x ) ( x + 5 3 x ) ( x + 5 + 3 x ) =

= ( 6 x + 7 ) ( x + 1 ) ( x + 5 + 3 x ) ( x + 5 ) ( 3 x ) = ( 6 x + 7 ) ( x + 1 ) ( x + 5 + 3 x ) 2 ( x + 1 ) .

Сокращая теперь числитель и знаменатель последней дроби на общий множитель x + 1, получим новую функцию

y = ( 6 x + 7 ) ( x + 5 + 3 x ) 2 ,

которая отличается от данной значением лишь в одной точке x = -1: данная функция в этой точке не определена, а новая определена и непрерывна как элементарная функция. Поскольку переопределение функции в одной точке не сказывается на значении предела и поскольку для функции, непрерывной в точке x0, ее предел при xx0 равен значению этой функции в точке x0, то

lim x 1 6 x 2 + 13 x + 7 x + 5 3 x = lim x 1 ( 6 x + 7 ) ( x + 5 + 3 x ) 2 =

= ( 6 · ( 1 ) + 7 ) ( 1 + 5 + 3 ( 1 ) ) 2 = 2 .

б) Начнем преобразования с умножения числителя и знаменателя дроби, стоящей под знаком предела, на выражение, сопряженное к знаменателю:

lim x 0 sin 2 x 1 cos x = lim x 0 sin 2 x ( 1 + cos x ) ( 1 cos x ) ( 1 + cos x ) = lim x 0 4 sin 2 x 2 cos 2 x 2 ( 1 + cos x ) 2 sin 2 x 2 =

= lim x 0 2 cos 2 x 2 ( 1 + cos x ) = 2 .

Использованы формулы соотношений между тригонометрическими функциями sin2x = (1 - cos2x) и sin(2x) = 2 · sinx · cosx.

в) Введем новую переменную

y = 1 2 x .

Тогда

1 5 x = y 2,5 .

Предел функции y при x → 0 равен ∞, то есть y → ∞ при x → 0.

Следовательно,

lim x 0 ( 1 2 x ) 1 5 x = lim x 0 ( 1 2 x ) 1 2 x · ( 2 5 ) = lim y ( 1 + 1 y ) 2 5 y = e 2 5 .

Использован второй замечательный предел lim x ( 1 + 1 x ) x = e .

г) Представим выражение под знаком предела в виде

sin 4 x 3 x 1 = sin 4 x · 4 x 4 x ( 3 x 1 ) .

Далее находим:

lim x 0 sin 4 x 4 x = 1 , 4 x 3 x 1 = 4 x e x ln 3 1 , lim x 0 4 x e x ln 3 1 = lim x 0 4 x · x ln 3 ( e x ln 3 1 ) x ln 3 = 4 ln 3 .

Использованы первый замечательный предел lim x 0 sin x x = 1 и следствие из второго замечательного предела lim x 0 e x 1 x = 1 .

НАВЕРХ

Задача № 3

Найти производные функций:

а) y = x 2 · ( 1 x ) 3 1 + x в) y = ln 5 + 3 cos x + 4 sin x 3 + 5 cos x
б) y = sin(cos2(tg3x)) г) y = arcctg 5 2 x 2 5 x x 2

Решение

а) Функция представляет собой частное двух функций. Ее производная по правилу дифференцирования частного равна:

y ' = ( x 2 ( 1 x ) 3 1 + x ) ' = ( x 2 ( 1 x ) 3 ) ' ( 1 + x ) x 2 ( 1 x ) 3 ( 1 + x ) ' ( 1 + x ) 2 .

Выражение x2(1 - x)3 есть произведение двух функций: x2 и (1 - x)3. Применяя правило дифференцирования произведения, имеем:

(x2 · (1 - x)3)' = (x2)' · (1 - x)3 + x2 · ((1 - x)3)'.

Производная (1 - x2)' = 2 · x. Функция (1 - x)3 есть сложная функция, поэтому ее производная равна:

((1 - x)3)' = 3 · (1 - x)2 · (1 - x)' = 3 · (1 - x)2 · ((1)'-(x)') = 3 · (1 - x)2 · (0 - 1) = -3 · (1 - x)2.

Производную функции (1 - x) нашли, используя формулы дифференцирования суммы двух функций. Аналогично, (1 + x)' = 0 + 1 = 1.

Собирая все результаты, получим:

y ' = 2 x ( 1 x ) 3 1 + x 3 x 2 ( 1 x ) 2 1 + x x 2 ( 1 x ) 3 ( 1 + x ) 2 .

б) Последовательно дифференцируем сложную функцию, взяв за аргумент y = sin(cos2(tg3x)) и применяя последовательно правила дифференцирования сложной функции и производную синуса, косинуса и тангенса, получим:

y ' = cos ( cos 2 ( tg 3 ( x ) ) ) · 2 cos ( tg 3 ( x ) ) · ( sin ( tg 3 ( x ) ) ) · 3 tg 2 x cos 2 x =

= 6 · cos ( cos 2 ( tg 3 x ) ) · cos ( tg 3 x ) · sin ( tg 3 x ) · tg 2 x cos 2 x .

в) Наша функция есть сложная логарифмическая, в которой аргументом является выражение u = 5 + 3 cos x + 4 sin x 3 + 5 cos x . Применив формулу производной логарифмической функции, получим:

y ' = ( ln 5 + 3 cos x + 4 sin x 3 + 5 cos x ) ' = 1 5 + 3 cos x + 4 sin x 3 + 5 cos x ( 5 + 3 cos x + 4 sin x 3 + 5 cos x ) ' .

Далее нам нужно найти производную частного двух функций. По формуле производной частного имеем:

( 5 + 3 cos x + 4 sin x 3 + 5 cos x ) ' = ( 5 + 3 cos x + 4 sin x ) ' ( 3 + 5 cos x ) ( 5 + 3 cos x + 4 sin x ) ( 3 + 5 cos x ) ' ( 3 + 5 cos x ) 2 =

= ( 3 sin x 4 cos x ) ( 3 + 5 cos x ) ( 5 + 3 cos x + 4 sin x ) ( 5 sin x ) ( 3 + 5 cos x ) 2 =

= 34 sin x 12 cos x + 30 sin x cos x 20 cos 2 x + 20 sin 2 x ( 3 + 5 cos x ) 2 .

Окончательно получим:

y ' = 34 sin x 12 cos x + 30 sin x cos x 20 cos 2 x + 20 sin 2 x ( 3 + 5 cos x ) 2 · 1 5 + 3 cos x + 4 sin x 3 + 5 cos x =

= 34 sin x 12 cos x + 30 sin x cos x 20 sin 2 x + 20 cos 2 x ( 3 + 5 cos x ) ( 5 + 3 cos x + 4 sin x ) .

г) Вычисляем по формуле производной сложной функции, приняв за аргумент выражение u = 5 2 x 2 5 x x 2 , получим:

y ' = ( arcctg 5 2 x 2 5 x x 2 ) ' = 1 1 + ( 5 2 x 2 5 x x 2 ) 2 ( 5 2 x 2 5 x x 2 ) ' .

Воспользовавшись формулой производной для частного двух функций и делая необходимые преобразования, получим:

y ' = 1 1 + ( 5 2 x 2 5 x x 2 ) 2 · ( 5 2 x ) ' 2 5 x x 2 ( 5 2 x ) ( 2 5 x x 2 ) ' 4 ( 5 x x 2 ) =

= 1 1 + ( 5 2 x 2 5 x x 2 ) 2 · 4 5 x x 2 ( 5 2 x ) 5 2 x 5 x x 2 4 ( 5 x x 2 ) = 1 5 x x 2 .

НАВЕРХ

Задача № 4

Найти неопределенные интегралы:

а) ( 1 + x ) 2 x 2 + 1 dx в) tg 3 x dx
б) sin x 1 + 2 cos x 5 dx г) x 2 sin 2 x dx

Решение

а) Представим подынтегральную функцию в виде алгебраической суммы двух слагаемых. Для этого разделим почленно числитель на знаменатель:

( 1 + x ) 2 x 2 + 1 dx = x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 = 1 dx + 2 x x 2 + 1 dx = x + ln ( x 2 + 1 ) + C .

Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций.

б) При нахождении этого интеграла воспользуемся методом подстановки. Введем новую переменную t = 1 + 2 cosx, dt = -2 sinx dx.

Тогда:

sin x 1 + 2 cos x 5 dx = 1 2 d ( 1 + cos 2 x ) 1 + 2 cos x 5 = 1 2 t 1 5 dt = 1 2 5 4 t 4 5 + C = 5 8 ( 1 + 2 cos x ) 4 5 + C .

в) tg 3 x dx будем искать по табличной формуле tg n xdx = tg n 1 x n 1 tg n 2 x dx .

Поэтому

tg 3 x dx = tg 2 x 2 tgxdx = tg 2 x 2 + ln cos x .

г) Для нахождения этого интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям f dg = f · g g df . Положим f = x2, dg = sin2xdx, df = 2xdx, g = 1 2 cos 2 x . Получаем:

x 2 sin 2 x dx = x 2 2 cos 2 x 1 2 cos 2 x · 2 x dx = x 2 2 + x · cos 2 x dx =

= x 2 2 cos 2 x + x 2 sin 2 x + 1 4 cos 2 x .

НАВЕРХ

Задача № 5

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = ax2 + bx и y = cx2 + dx.

a b c d
1 -1 -2 5

Решение:

Чтобы наглядно представить фигуру, площадь которой надо найти, начертим графики функций y = x2 - x и y = -2x2 + 5x.

Рисунок 1
Рисунок 1

Для построения параболы y = x2 - x определим координаты ее вершины и точек пересечения с осями координат. Разложив уравнение y = x2 - x = (x - 1) · x, получим координаты вершины параболы A(0,5; -0,25). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при x2, равный 1, положителен. Точки пересечения параболы с осью абсцисс найдем, решив квадратное уравнение x2 - x = 0. Корни этого уравнения x1 = 0; x2 = 1. Получили точки O(0; 0); A1(1; 0). Точка пересечения с осью ординат находится при x = 0. Эта точка совпадает с точкой A. Для построения второй параболы y = -2x2 + 5x необходимо провести аналогичные действия. Получим вершину B(1,25; 3,125) и точки O(0; 0); B1 (2,5; 0). Ветви этой параболы направлены вниз, так как коэффициент при x2 отрицателен. На рисунке 1 построены обе параболы. Ограниченная параболами часть плоскости является фигурой, площадь которой надо найти. Для определения абсцисс точек пересечения парабол решим уравнение x2 - x = -2x2 + 5x или 3x2 - 6x = 0, откуда x1 = 0; x2 = 2.

Площадь фигуры вычисляем по формуле

S = a b [ f ( x ) g ( x ) ] dx

где f(x) ≥ g(x) для всех x ∈ [a; b].

В нашем случае a = x1 = 0; b = x2 = 2. На отрезке [0; 1] имеем -2x2 + 5xx2 - x. Поэтому

f(x) = -2x2 + 5x и g(x) = x2 - x.

Следовательно,

S = 0 2 [ ( 2 x 2 + 5 x ) ( x 2 x ) ] dx = 0 2 ( 3 x 2 + 6 x ) dx .

Для вычисления определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:

a b f ( x ) dx = F ( x ) a b = F ( b ) F ( a ) ,

где F(x) - первообразная подынтегральной функции f(x).

Окончательно

S = 0 2 ( 3 x 2 + 6 x ) dx = ( x 3 + 3 x 2 ) 0 2 = 2 3 + 3 · 2 2 0 = 4 .


Программа MalMath - пошаговый решатель представляет собой полноценный инженерный калькулятор. Предназначена для работы на устройствах, управляемых операционной системой Android. Помимо традиционных арифметических, алгебраических  и тригонометрических вычислений, MalMath решает уравнения, вычисляет пределы функций, находит производные, вычисляет интегралы и осуществляет массу других математических операций.

MalMath можно назвать аналогом MathCAD для Android. Знакомые с работой в MathCAD легко и непринужденно освоят MalMath. В программу заложена масса полезных свойств, облегчающих работу пользователя. Программа распознает ошибки во вводимых данных, выдаст понятные предупреждения о них.

В процессе решения задач MalMath подробно описывает каждый свой шаг. Программа укажет ресурсы сети, объясняющие методы конкретных решений, четко обоснует необходимость применения метода, гиперссылки приведут к справочной литературе.





Индекс цитирования Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru хостинг по разумной цене