Задача

Найти решение дифференциального уравнения ay'' + by' + cy = ekx, удовлетворяющее начальным условиям: y(0) = p, y'(0) = q.

a b c k p q
6 1 -1 2 3 2

Решение

Общее решение данного неоднородного линейного уравнения есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения 6y'' + y' - y = 0.

Ищем общее решение однородного уравнения. Это решение записывается в виде

y0 = C1ek1x + C2ek2x.

где C1 и C2 - произвольные постоянные, а k1 и k2 - корни характеристического уравнения ak2 + bk + c = 0 данного уравнения ay'' + by' + cy = 0. В нашем случае a = 6, b = 1, c = -1, характеристическое уравнение принимает вид: 6k2 + k - 1 = 0, его корни k1 = -1/2, k2 = 1/3, значит, общее решение однородного уравнения имеет вид: y0 = C1e-x/2 + C2ex/3.

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть данного уравнения содержит в показателе степени коэффициент (2), не являющийся корнем характеристического уравнения, частное решение следует искать в виде: y1 = de2x. Найдем неизвестный коэффициент d. Так как y 1 ' = 2 d e 2 x , y 2 ' ' = 4 d e 2 x , подставив значения  в данное уравнение, получим равенство

24de2x + 2de2x - de2x = e2x,

откуда 25de2x = e2x, т.е. d = 1 25 .

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

y = y 0 + y 1 = C 1 e x / 2 + C 2 e x / 3 + e 2 x 25 .

Найдем то решение, которое удовлетворяет данным начальным условиям. Так как y ' = 1 2 C 1 e x / 2 + 1 3 C 2 e x / 3 + 2 e 2 x 25 , y(0) = C1 + C2 + 1/25, то решая систему уравнений:

{ 1 2 C 1 + 1 3 C 2 + 2 25 = 2 C 1 + C 2 + 1 25 = 3 ,

находим C1 = -28/25; C2 = 102/25.

Следовательно, y = 28 25 C 1 e x / 2 + 102 25 C 2 e x / 3 + e 2 x 25 - искомое решение.




Индекс цитирования Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru хостинг по разумной цене